D) PERIODO UNO : CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

PERIODO I:       CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

• COMPETENCIAS

* Analiza, justifica y aplica las propiedades de los números reales

* Utiliza números reales en sus diferentes representaciones de la vida cotidiana.

* Comprende el significado y las propiedades de la recta real.

* Establece algunas diferencias entre números racionales e irracionales y soluciona problemas de la vida cotidiana utilizando dichos números.

* Aplica funciones lineales en el análisis de modelos científicos.

1.  Números Reales.

Los números reales son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todos los fracciones; y todos los números irracionales son aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten. Ejemplos de números irracionales son:

el número pi  π = 3.141592653589793 . . . que lo podemos ver en todos los circulos que vez y lo puedes hallar en cualquiera de ellos como nosotros tambien lo hicimos con un CD.

ejemplo

√2 = 1.4142135623730951 . . .     π = 3.141592653589793 . . .     

e = 2.718281828459045 . . .

Es muy útil representar a los números reales como puntos en la recta real, como lo mostramos en estos dos videos.

2.  Expresión decimal de un número Real.

Cuando escribimos el número ( 3 √2, tres raíz cuadrada de dos)  queda reflejado con total precisión de que número estamos hablando. Este número, tan sencillo de expresar con radicales, tiene, sin embargo, una expresión decimal que consta de infinitas cifras (4.2426406871192851464050661726291…). En la práctica, muchas veces es preferida la expresión decimal aproximada, con una cantidad reducida de cifras decimales (4.24), aunque ésta sea imprecisa, porque resulta más fácil captar su valor que expresándolo con radicales.

3. Ubicación de reales en la recta.

La representación geométrica de los números naturales en la recta numérica teniendo en cuenta la unidad y que los números enteros negativos se ubican a la izquierda.

4. Exponentes enteros.

Si a es un número real, y n es un número entero positivo, entonces aⁿ quiere decir la cantidad a^.a^. . . . a   (n veces).

El número a se llama la base y el número n se llama el exponente.

Entonces, a¹ = a,  

a² = a^.a,  

a⁵ = a^.a^.a^.a^.a

5. Radicales y operaciones.

pildoras para resolver operaciones con radicales:

a)Producto:  Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los radicandos.

b)Cociente: Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos.

c)Potencia: Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia, manteniendo el índice.

d)Radical:Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos.

e)Suma y resta de radicales con el mismo índice y radicando

Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo radicando y el mismo índice.

Siempre Recordemos que Racionalizar una fracción consiste en encontrar una fracción equivalente que no tenga radicales en el denominador. Ahora miremos algunos ejemplos.

6. Racionalización.

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.

Se pueden dar varios casos:

1) Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

2) Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.

3. Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n quecomplete una potencia de exponente n.

7. Ecuaciones con radicales simples.

a)Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales.

b)Se elevan al cuadrado los dos miembros.

c)Se resuelve la ecuación obtenida.

d) Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación.

e) Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.

aprendamos con el siguiente video:

8. Definición y notación de funciones.

La notación de funciones es una convención o conjunto de símbolos acordados por la comunidad matemática para representar las funciones. Ya sabemos que al escribir f (x) de ninguna manera nos referimos a una multiplicación, sino que estos símbolos indican que tenemos una función llamada f, que depende de una variable llamada x. es decir, la letra fuera del paréntesis es el nombre de la función, y la letra dentro del paréntesis es la variable independiente. Pero la función no necesariamente se tiene que llamar f : puede tomar cualquier nombre, generalmente de una sola letra, y si es necesario, puede ir acompañada de subíndices. También la letra que representa a la variable independiente puede ser cualquiera.Si lo piensas, te darás cuenta que en realidad has trabajado en numerosas ocasiones con funciones, sólo que en general, en vez de usar la expresión f (x), usabas la literal y. Ambas expresiones son equivalentes y podemos usarlas indistintamente cuando trabajamos con funciones.

De acuerdo con lo anterior, las coordenadas de un punto pueden ser (x, y) y serán equivalentes a escribir (x, f (x)). Por lo tanto podemos decir que:   y = f (x) , Se lee “y es función de x” o “y depende de x” e implica que al calcular f (x) obtenemos un valor de y.

9. Función constante y lineal.

En matemática, el término función lineal puede referirse a dos conceptos diferentes.

En primer lugar, dentro de la geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. esta función se puede describir como:  f(x) = mx + b ; donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.