I) GEOMETRIA APLICADA

Cruzando el río.Una persona dispone de un bote para cruzar al otro lado del río. Debe llevar consigo un lobo, un conejo y una zanahoria. En el bote junto a él solo cabe una cosa más o bien el lobo o bien el conejo o bien la zanahoria. Si el lobo se queda solo con el conejo se lo comerá. Si el conejo se queda solo con la zanahoria se la comerá. ¿Cómo consigue la persona transportar todo sin daño y sin mojarse?

EJERCICIO DE PENSAMIENTO GEOMÉTRICO

 

  1. Una llave llena un tanque que tiene forma de cubo en 4 horas y el desagüé en 6 horas ¿En cuánto tiempo se llenará el tanque si el desagüé empezará a funcionar una hora después de abierta la llave?
  2. Si tengo una caja con las siguientes medidas 27 Cm de ancho, 54 Cm de largo y 10 Cm de alto y una regla de 60 Cm ¿es posible que la regla entre en la parte inferior de la caja?

Propiedades de familias y subfamilias de los sólidos

En varios apartados de esta sección se consideran sólidos, familias de sólidos y subfamilias de éstas y se centra la atención en su descripción; se enumeran así algunas propiedades relativas a diferentes elementos cuyas ideas se han introducido en un contexto de construcción y se perfilan estas ideas en este contexto. Se incluyen a continuación aquellas listas de propiedades que pueden servir de base para el diseño de las tareas y el desarrollo de actividades de las que se sugieren en diferentes apartados de esta sección; especialmente para las de este apartado y para ¿Qué sólidos verifican …

Es necesario señalar que las listas de propiedades que enumeramos para cada familia, no son máximas ni mínimas; no hemos pretendido dar una visión completa de ellas, ni damos listas de propiedades de todas las subfamilias que se pueden considerar; lo hacemos para aquellas que de algún modo consideramos en nuestras clases de Magisterio (donde se forman los estudiantes para maestro) como base para desarrollar actividad.

Vale la pena aclarar que las listas de propiedades que enumeramos incluyen características de objetos físicos, resultados de observaciones, propiedades matemáticas e incluso algunas definiciones. Dado que se tiene como punto de mira estudiantes que pueden razonar en diferente nivel, estos “conglomerados” surgen al recopilar lo considerado como propiedad en los diferentes niveles de razonamiento.

Propiedades de los sólidos

  1. Tiene tres dimensiones: largo, ancho y alto.
  2. Se limita perfectamente un espacio. El borde del sólido es la superficie.

Propiedades del cilindro del cono y la esfera

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. El cilindro tiene 3 caras, 2 que son círculos y otra que es una cara curva. Tiene 2 aristas curvas, con forma de circunferencia, y no tiene vértices.
  2. El cono tiene 2 caras (una curva y otra circular) que se juntan y forman una arista curva, con forma de circunferencia. Sólo tiene un vértice y éste sólo lo forma una cara, que es curva.
  3. La esfera tiene una cara, que es curva.

Propiedades de los poliedros

  • Es un sólido. Tiene las propiedades de los sólidos.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Sus caras son polígonos.
  2. Todas las aristas son rectas.
  3. En los vértices se juntan por lo menos 3 caras.
  4. Como mínimo tiene 4 caras, 4 vértices y 6 aristas

Propiedades de los prismas

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Tienen dos caras, que llamamos bases del prisma, que se juntan con paralelogramos. Los paralelogramos que juntan las bases son las caras laterales del prisma.
  2. Las bases son iguales y paralelas y una están trasladadas. Cada vértice de una base se corresponde con un vértice de la otra base. Si desplazamos una de las bases mediante el vector que une los centros de las bases, los vértices coinciden.
  3. Las aristas laterales son paralelas y tienen la misma longitud.
  4. Todos los vértices son de orden 3. En todos los vértices concurren 3 caras o 3 aristas. En todos los vértices concurren dos caras laterales y una base. En todos los vértices concurren una arista lateral y dos aristas de una base.
  5. Si el polígono de las bases tiene n lados, entonces el prisma tiene n+2 caras, 2n vértices y 3n aristas.
  6. Si el polígono de las bases tiene n lados, entonces el prisma tiene 6n ángulos de las caras, 3n ángulos diedros (los mismos que aristas) y 2n ángulos de los vértices (los mismos que vértices).
  7. Si el polígono de las bases tiene n lados, entonces el prisma tiene n(n-1) diagonales de las caras y n(n-3) diagonales del espacio.

Propiedades de los antiprismas

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Tienen dos caras, que llamamos bases del antiprisma, que se juntan con triángulos. Los triángulos que juntan las bases son las caras laterales del antiprisma.
  2. Las bases son iguales y paralelas y están giradas una respecto a la otra. Un vértice de una base se corresponde con un lado de la otra base. Si desplazamos una de las bases mediante el vector que une los centros de las bases, los vértices de una base se corresponden con lados de la otra base.
  3. Todos los vértices son de orden 4. En todos los vértices concurren tres triángulos y la base. En todos los vértices concurren dos aristas laterales y dos aristas de la base.
  4. Si el polígono de las bases tiene n lados, entonces el antiprisma tiene 2n+2 caras, 2n vértices y 4n aristas.
  5. Si el polígono de las bases tiene n lados, entonces el antiprisma tiene 8n ángulos de las caras, 4n ángulos diedros (los mismos que aristas) y 2n ángulos de los vértices (los mismos que vértices).
  6. Si el polígono de las bases tiene n lados, entonces el prisma tiene n(n-3) diagonales de las caras (las CL no tienen diagonales) y n(n-2) diagonales del espacio.

Propiedades de las pirámides

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Tiene una cara, que llamamos base, se junta a un punto por medio de triángulos. Este punto es el ápice. Los triángulos son las caras laterales de la pirámide.
  2. Tienen vértices de dos tipos, excepto la pirámide triangular. Los vértices de la base son de orden 3 y el orden del ápice coincide con el número de lados del polígono de la base. En todos los vértices de la base concurren dos triángulos y la base. En el ápice concurren todos los triángulos de la pirámide y nunca la base. En todos los vértices de la base concurren una arista lateral y dos aristas de la base. En el ápice sólo concurren aristas laterales. En la pirámide triangular en todos los vértices se juntan 3 triángulos y cualquier cara sirve como base.
  3. Si el polígono de la base tiene n lados, entonces la pirámide tiene n+1 caras, n + 1 vértices y 2n aristas.
  4. Si el polígono de las bases tiene n lados, entonces la pirámide tiene 4n ángulos de las caras, 2n ángulos diedros (los mismos que aristas) y n+1 ángulos de los vértices (los mismos que vértices).
  5. Si el polígono de las bases tiene n lados, entonces la pirámide tiene n(n-3)/2 diagonales de las caras (las CL no tienen diagonales) y no tiene diagonales del espacio.

Propiedades de las bipirámides

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Están formadas por las caras laterales de dos pirámides que tienen la misma base.
  2. Las caras son triángulos.
  3. Tiene vértices de dos tipos, excepto la bipirámide cuadrada. Los vértices de la base son de orden 4 y el orden del ápice coincide con el número de lados del polígono de la base. Sólo la bipirámide cuadrada tiene todos los vértices del mismo tipo; en ellos se juntan 4 triángulos.
  4. Si el polígono de la bases tiene n lados, entonces la bipirámide tiene 2n caras, n + 2 vértices y 3n aristas.
  5. Si el polígono de las bases tiene n lados, entonces la bipirámide tiene 6n ángulos de las caras, 3n ángulos diedros (los mismos que aristas) y n+2 ángulos de los vértices (los mismos que vértices).
  6. Si el polígono de las bases tiene n lados, entonces la pirámide no tiene diagonales de las caras (todas las caras son triángulos) y tiene 1+ n(n-3)/2 diagonales del espacio (las diagonales de la base más la que une los dos ápices).

Propiedades de los prismas rectos

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas. Tienen las propiedades de los prismas.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Las caras laterales son rectángulos.
  2. El prisma recto se produce si un polígono se mueve perpendicularmente a su propio plano.
  3. Las caras laterales son perpendiculares a las bases.
  4. Las aristas laterales son perpendiculares a las bases.
  5. Las aristas laterales tienen la misma longitud que la altura del prisma. La longitud de la altura coincide con la del segmento que une los centros de gravedad de las bases, si éstos yacen en el interior del polígono.
  6. La altura dibujada desde un punto de la base cae en el interior del sólido o en la superficie. La altura, dibujada desde el centro de la una base, cae en el centro de la otra base y dibujada desde un vértice cae en otro vértice.
  7. Los ángulos diedros de las caras laterales y la base (dCL-B) son de 90°.
  8. Los ángulos diedros de las caras laterales (dCL-CL) coinciden con los ángulos correspondientes del polígono de sus bases.
  9. Los ángulos de los vértices miden 180°+ donde es el ángulo correspondiente de la base.
  10. El número de medidas distintas para las diagonales del espacio coincide con el de medidas distintas para las diagonales de la base.

Propiedades de los prismas oblicuos (clasificación excluyente)

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas. Tienen las propiedades de los prismas.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. El prisma oblicuo se produce si un polígono se mueve paralelamente a su propio plano siguiendo una dirección que no es perpendicular al plano.
  2. Tienen por lo menos una cara lateral que no es perpendicular a las bases.
  3. Tienen por lo menos una arista lateral que no es perpendicular a las bases.
  4. La longitud de la altura del prisma es menor que la de las aristas laterales. La longitud de la altura es menor que la del segmento que une los centros de las bases.
  5. La altura, dibujada desde el centro de una base, no cae en el centro de la otra base.
  6. Tienen por lo menos un ángulo diedro de las caras laterales y la base (dCL-B) que no es de 90°.
  7. Tienen por lo menos un ángulo diedro de las caras laterales (dCL-CL) que no coincide con el ángulo correspondiente del polígono de sus bases.

Propiedades de los antiprismas rectos, de las pirámides rectas y de las bipirámides rectas

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son antiprismas, pirámides o bipirámides. Tienen las propiedades de los antiprismas, pirámides o bipirámides, respectivamente.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. En los antiprismas rectos la altura dibujada desde el centro de una base cae en el centro de la otra base. La longitud de la altura coincide con la del segmento que une los centros de las bases.
  2. En las pirámides rectas la altura dibujada desde el ápice cae en el centro de la base. La longitud de la altura coincide con la del segmento que une el ápice y el centro de la base.
  3. En las bipirámides rectas la altura dibujada desde uno de los ápices pasa por el centro de la base y cae en el otro ápice. La longitud de la altura coincide con la del segmento que une dos ápices.

Propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, convexos

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides respectivamente.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Las diagonales de las caras del sólido caen siempre en la superficie del sólido.
  2. Las diagonales del sólido caen siempre en el interior del sólido.
  3. Los ángulos de las bases (y también los ángulos de las caras) son todos ellos menores que 180°.
  4. Los ángulos diedros son menores que 180°.
  5. Los ángulos de los vértices son menores que 360°.
  6. Al prolongar cualquier lado del polígono de la base, la base queda toda ella a un lado y no corta a ningún otro lado de ella.
  7. Al prolongar cualquier cara del prisma, éste queda todo él a un lado y no corta a ninguna otra cara del prisma.
  8. Se puede apoyar en cualquiera de sus caras.

Propiedades de los prismas, antiprismas o pirámides cóncavos

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas, antiprismas o pirámides. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas o pirámides respectivamente.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Tienen al menos una diagonal en la base que no queda completamente en el interior de ésta.
  2. Los prismas y antiprismas cóncavos tienen al menos una diagonal del espacio que no queda completamente en el interior del sólido (las pirámides no tienen diagonales del espacio).
  3. Las bases tienen al menos un ángulo mayor que 180°.
  4. Tienen por lo menos un ángulo diedro dCL-CL, que es mayor que 180°.
  5. Las bases tienen por lo menos un lado que si lo prolongamos divide a la base en más de un trozo y corta por lo menos a un lado o vértice de ésta.
  6. Tienen por lo menos una cara lateral que si la prolongamos divide al prisma en más de un trozo y corta por lo menos a otra cara, a algunas aristas o a vértices.
  7. Tienen por lo menos una cara lateral en la que no se pueden apoyar.

Propiedades de las bipirámides o de los sólidos cóncavos

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Las bipirámides cóncavas son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Las bipirámides cóncavas son bipirámides. Tienen las propiedades de las bipirámides.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Tienen por lo menos un ángulo diedro que es mayor que 180°.
  2. Tienen por lo menos una cara que si la prolongamos divide al sólido en más de un trozo y corta por lo menos a otra cara, a algunas aristas o a vértices.
  3. Tienen por lo menos una cara en la que no se pueden apoyar.

Propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides de bases regulares

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides respectivamente.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, convexos. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, convexos, respectivamente.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Las bases, o la base, son polígonos regulares.
  2. Los prismas de bases regulares tienen como mucho dos medidas diferentes para las aristas.

Propiedades de los prismas o antiprismas de caras laterales regulares

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas o antiprismas. Tienen las propiedades de los prismas o antiprismas respectivamente.
  • Son prismas o antiprismas rectos. Tienen las propiedades de los prismas o antiprismas rectos.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Las caras laterales son cuadrados o triángulos equiláteros.
  2. Como mucho hay dos medidas para las caras.
  3. Tienen las aristas iguales.
  4. En los prismas de caras laterales regulares las diagonales de las caras laterales son iguales y se cortan perpendicularmente.

Propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, rectos de bases regulares

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides respectivamente.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, rectos. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, rectos.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, convexos. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, convexos, respectivamente.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, de bases, o base, regulares. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, de bases, o base, regulares.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Las CL son iguales.
  2. Hay dos medidas como mucho para las caras.
  3. Los vértices son iguales: el polígono verticial es el mismo en todos ellos.
  4. En los prismas y las bipirámides rectas de bases regulares hay dos medidas como mucho para los ángulos de las caras.

En los antiprismas y pirámides rectas de bases regulares hay tres medidas como mucho para los ángulos de las caras.

  1. Hay dos medidas como mucho para los ángulos diedros.
  2. En los prismas rectos de bases regulares, las diagonales de las caras laterales son iguales.
  3. Para los prismas, antiprismas y pirámides rectas de bases regulares, el número de medidas diferentes que tienen las diagonales del espacio como mucho es el de medidas diferentes que tienen las diagonales de las caras.

Propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, de caras iguales

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides respectivamente.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, convexos. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, convexos, respectivamente.
  • Los prismas de caras iguales son prismas cuadrangulares, luego cumplen las propiedades de esta familia. Los antiprismas y pirámides de caras iguales son triangulares, luego cumplen las propiedades de la familia triangular correspondiente.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Todas las caras son iguales.
  2. En los prismas, antiprismas de caras iguales las caras son paralelas dos a dos.
  3. Como mucho hay tres medidas para las aristas. En los prismas de caras iguales todas las aristas son iguales. En los antiprismas y pirámides como mucho hay dos medidas para las aristas.
  4. Como mucho hay tres medidas para los ángulos de las caras. En los prismas, antiprismas y pirámides como mucho hay dos medidas para los ángulos de las caras.
  5. En los prismas de caras iguales las diagonales de las caras como mucho tienen dos medidas diferentes. Los antiprismas, pirámides y bipirámides de caras iguales no tienen diagonales de las caras.
  6. En los prismas de caras iguales las diagonales de las caras se cortan perpendicularmente.
  7. Hay infinitos ejemplos de bipirámides de caras iguales pero sólo hay dos tipos de ejemplos para los prismas, antiprismas y pirámides. Uno de ellos está formado por caras regulares (cuadrados o triángulos equiláteros) y el otro por rombos o triángulos isósceles, genéricos (con ángulos de dos medidas).

Propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, de caras regulares

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides respectivamente.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, rectos. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, rectos.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, convexos. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, convexos, respectivamente.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, de bases, o base, regulares. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, de bases, o base, regulares.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, rectos de bases, o base, regulares. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, rectos de bases, o base, regulares.
  • Los prismas y antiprismas de caras regulares tienen las propiedades de los prismas o antiprismas de caras laterales regulares. Las pirámides y bipirámides de caras regulares, familias que coinciden con las de caras regulares correspondientes, también cumplen que las aristas son iguales.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Tienen todas las caras regulares.
  2. Hay infinitos prismas y antiprismas de caras regulares, uno por cada polígono regular, pero sólo hay tres pirámides y tres bipirámides de caras regulares: la triangular, la cuadrada y la pentagonal.

Propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, regulares: El cubo, octaedro o tetraedro

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides respectivamente.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, rectos. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, rectos.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, convexos. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, convexos, respectivamente.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, de bases, o base, regulares. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, de bases, o base, regulares.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, rectos de bases, o base, regulares. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, rectos de bases, o base, regulares.
  • Los prismas y antiprismas de caras regulares tienen las propiedades de los prismas o antiprismas de caras laterales regulares. Las pirámides y bipirámides de caras regulares, familias que coinciden con las de caras regulares correspondientes, también cumplen que las aristas son iguales.
  • Los prismas y bipirámide regulares son cuadrangulares y los antiprismas y pirámides regulares son triangulares, luego verifican las propiedades de la familia correspondiente.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, de caras iguales. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, de caras iguales.
  • Son prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, de caras regulares. Tienen las propiedades de los prismas, antiprismas, pirámides o bipirámides, de caras regulares.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Tienen los ángulos de las caras iguales.
  2. Tienen los ángulos diedros iguales.
  3. Las diagonales de las caras son iguales. El tetraedro y el octaedro no tienen diagonales de las caras.
  4. Las diagonales del espacio son iguales. El tetraedro no tiene diagonales del espacio.
  5. Hay un sólo tipo de ejemplo en cada una de estas familias: el cubo, el octaedro, el tetraedro y el octaedro, respectivamente.

Propiedades de los prismas cuadrangulares

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas. Tienen las propiedades de los prismas.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Tienen 6 caras, 12 aristas y 8 vértices.
  2. Tienen 24 ángulos de las caras, 12 ángulos diedros y 8 ángulos de los vértices.
  3. Tienen 12 diagonales de las caras y 4 diagonales del espacio.

Propiedades de los prismas de bases trapecios (clasificación Inclusiva)

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas. Tienen las propiedades de los prismas.
  • Son prismas cuadrangulares. Tienen las propiedades de los prismas cuadrangulares.
  • Son convexos. Tienen las propiedades de los prismas convexos.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Las bases son trapecios: al menos tienen un par de lados paralelos.
  2. Tienen al menos un par de caras laterales paralelas.

Propiedades de los paralelepípedos (clasificación Inclusiva)

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas. Tienen las propiedades de los prismas.
  • Son prismas cuadrangulares. Tienen las propiedades de los prismas cuadrangulares.
  • Son convexos. Tienen las propiedades de los prismas convexos.
  • Son prismas de bases trapecios. Tienen las propiedades de los prismas con bases trapecios.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Todas las caras son paralelogramos.
  2. Tiene caras paralelas e iguales dos a dos. Las caras opuestas son iguales y paralelas.
  3. Tiene como mucho tres medidas diferentes para las caras.
  4. Tiene como mucho tres medidas diferentes para las aristas.
  5. Tiene como mucho seis medidas diferentes para los ángulos de las caras.
  6. Las diagonales de las caras se cortan en su punto medio.
  7. Las diagonales de las caras tienen como mucho seis medidas diferentes.

Propiedades de los Ortoedros (clasificación Inclusiva)

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas. Tienen las propiedades de los prismas.
  • Son prismas cuadrangulares. Tienen las propiedades de los prismas cuadrangulares.
  • Son convexos. Tienen las propiedades de los prismas convexos.
  • Son prismas de bases trapecios. Tienen las propiedades de los prismas con bases trapecios.
  • Son prismas de bases trapecios isósceles. Tienen las propiedades de los prismas con bases trapecios isósceles.
  • Son paralelepípedos. Tienen las propiedades de los paralelepípedos.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Las caras son rectángulos.
  2. Cada cara tiene 4 caras perpendiculares a ella.
  3. Los ángulos de las caras y los ángulos diedros miden 90°.
  4. Los ángulos de los vértices miden 270°.
  5. Las diagonales de las caras tienen como máximo 3 medidas distintas.
  6. Las diagonales del espacio son iguales.

Propiedades de los Romboedros (prismas de caras iguales) (clasificación Inclusiva)

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas. Tienen las propiedades de los prismas.
  • Son prismas cuadrangulares. Tienen las propiedades de los prismas cuadrangulares.
  • Son convexos. Tienen las propiedades de los prismas convexos.
  • Son prismas de bases cometas. Tienen las propiedades de los prismas con bases cometas.
  • Son paralelepípedos. Tienen las propiedades de los paralelepípedos.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Las caras son rombos iguales.
  2. Las aristas son iguales.
  3. Los ángulos de las caras como mucho tienen 2 medidas diferentes.
  4. Las diagonales de las caras como mucho tienen 2 medidas diferentes.
  5. Las diagonales de las caras se cortan perpendicularmente.
  6. Sólo hay dos tipos de ejemplos. Uno de ellos está formado por caras regulares (cuadrados) y el otro por rombos genéricos.

Propiedades del Cubo (clasificación Inclusiva)

  • Son sólidos. Tienen las propiedades de los sólidos.
  • Son poliedros. Tienen las propiedades de los poliedros.
  • Son prismas. Tienen las propiedades de los prismas.
  • Son prismas cuadrangulares. Tienen las propiedades de los prismas cuadrangulares.
  • Son convexos. Tienen las propiedades de los prismas convexos.
  • Son prismas de bases trapecios. Tienen las propiedades de los prismas con bases trapecios.
  • Son prismas de bases trapecios isósceles. Tienen las propiedades de los prismas con bases trapecios isósceles.
  • Son prismas de bases cometas. Tienen las propiedades de los prismas con bases cometas.
  • Son paralelepípedos. Tienen las propiedades de los paralelepípedos.
  • Son ortoedros. Tienen las propiedades de los ortoedros.
  • Son romboedros. Tienen las propiedades de los romboedros.
  • Además tienen las siguientes propiedades específicas:
  1. Todas las caras son cuadrados.
  2. Todas las caras son regulares.
  3. Todas las diagonales de las caras son iguales.
  4. Sólo hay un tipo de ejemplo.

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2 respuestas a I) GEOMETRIA APLICADA

  1. Excelente material. Gracias por todas sus enseñanzas

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